设f={|a∈A∧b∈B∧f(a)=b},而f是双射, 　　那么有f-1={|∈f}, 　　由于f是满射,故对于每一个b∈B都有∈f,则必有∈f-1,而f-1的定义域为B 　　(这表示f-1定义域取遍整个集合B) 　　f是单射,故对于每一个b∈B,正好有一个a∈A使得∈f,因此对于每个b仅有一个a∈A使得∈f-1 　　(这表示f-1是一个单值映射) 　　所以f-1满足函数的2个必要条件,所以它是函数 　　又因为ran(f-1)=dom(f)=A,故f-1是满射, 　　下面证明f-1是单射,反证,假设b1≠b2时有f-1(b1)=f-1(b2)成立,那么不妨设 　　f-1(b1)=a1,f-1(b2)=a2,且a1=a2,那么有f(a1)=b1,f(a2)=b2,由于f是一个函数,满足单值条件,故当a1=a2时必有f(a1)=b1=f(a2)=b2,产生矛盾,所以f-1是单射,综上f-1:B→A是双射