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 已知数列{an}满足a1=1/2,a1+a2+......+an=n^2an,用数学归纳法证明 已知数列{an}满足a1=1/2,a1+a2+......+an=(n^2)an,用数学归纳法证明:an=1/【n(n+1)】。请尽可能用数学归纳法标准格式。
1人问答
更新时间:2024-03-28 20:18:34
问题描述:

 已知数列{an}满足a1=1/2,a1+a2+......+an=n^2an,用数学归纳法证明

 

已知数列{an}满足a1=1/2,a1+a2+......+an=(n^2)an,用数学归纳法证明:an=1/【n(n+1)】。请尽可能用数学归纳法标准格式。

孙一康回答:
  证明:当n=1时,a1=1/[1(1+2)]=1/2,显然结论成立   假设当n=k时结论与成立,即有ak=1/[k(k+1)   此时由已知条件有a1+a2+……+ak=k^2*ak(1)   当n=k+1时,由已知条件有a1+a2+……+ak+a(k+1)=(k+1)^2*a(k+1)(2)   (2)-(1)整理得   a(k+1)=[k^2/(k^2+2k)]*ak=[k/(k+2)]*[1/k(k+1)]=1/[(k+1)(k+2)]=1/[(k+1)((k+1)+1)]   这说明,当n=k+1时结论也成立   (注:字母a之后的数字和字母是下标,这个问题的难点在于第k+1项与k项的关系,可充分利用题目条件所给的关系得到。)
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